Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE — INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE — ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN — ISSEA – YAOUNDÉ

ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – SÉNÉGAL
AVRIL 2014

CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
KAMERPOWER.COM

L’épreuve comporte un seul probléme, composé de quatre parties non indépendantes notées de A à D.

Problème 

Le symbole Ln désigne le logarithme népérien de base e, e = 2,718.

Partie A

On considére la fonction numérique h de la variable réelle x, strictement positive, définie par:

 –  

Etudier trés précisément les variations de h.
On étudiera en particulier le signe et les variations de  et  pour établir le tableau complet
des variations de h ; on n’oubliera pas les points caractéristiques, leurs tangentes, les limites et les asymptotes éventuelles de h, etc.

Partie B

1) Soient les deux fonctions a(t) et b(t) de la variable réelle t, , + ∞ [, définies par:

    et   b(t) = Ln(1+t)

Donner les développements limités a l’ordre 3 de a(t) et b(t) au voisinage de 0.

2) Montrer que      , pour .

3) On considère la fonction numérique f de la variable réelle  = ] – 1, + ∞ [, définie par

      et     f(0) = 1

3a – Quel est le signe de f ?
3b – Montrer que f est continue en 0.
4) Calculer f ‘(t). Montrer que f est dérivable en 0.

 Partie C

1) On considère la fonction numérique g de la variable réelle t,   = ]-1, + ∞ [, définie par

Établir un lien entre g et h (h introduite à la Partie A).

2) Montrer que la derivée f ‘(t) peut étre mise sous la forme   , pour t  0.

3) Démontrer que f ‘ est continue pour tout  .
4) A partir des tableaux de variations de g et f, montrer que f(t)  1 pour tout  .

5) Montrer que    pour   .

 Partie D

Soit une suite {}, à termes positifs, n entier > 0 ; on définit la suite {} par:

1) Montrer qu’une condition nécessaire pour que la suite {}  admette une limite finie U est que    quand  ∞.

2) Que peut-on dire du comportement de la suite {} si  ne tend pas vers 0  quand
n  +∞ ?

3) Pour x réel > 0, n entier > 0, on définit la suite de fonctions {} de terme général

Montrer que, pour x > 0, le ratio  est égal à e.x. où f a été définie en B3.

4) Dans cette question, on suppose que 

4a – Montrer que la suite de terme général {}, n entier > 0, est une suite croissante.

4b – En déduire alors la nature de la suite associée {} où .

5) Dans cette question, on suppose que ex < l.
Soit q un nombre réel tel que ex < q < 1.

5a – Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour tout , .

5b – En déduire alors que, pour tout n  N, .

5c – Quelle est la nature de la suite {} ?

6) Pour n entier > 0 , on définit les deux suites () et () par :

  et   

Quelles sont les limites de ces deux suites ?

7) On étudie la suite .

7a – Donner l’expression de .

7b – Pour tout entier , calculer le rapport

7c – Montrer, en utilisant la question 5 de la partie C, que Ln R(k, c)  est majoré par 

7d – En déduire que, pour n entier > 1 :

7e – Montrer que la suite  est majorée.

8) Soit la suite  , n entier > 0.

8a – Donner une relation entre  et  

8b – Quelle est la limite de la suite  quand n tend vers + ∞ ?

Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014