Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE — INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE — ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN — ISSEA – YAOUNDÉ

ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – SÉNÉGAL
AVRIL 2014

CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
KAMERPOWER.COM

Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014

L’épreuve comporte un seul probléme, composé de quatre parties non indépendantes notées de A à D.

Problème

Le symbole Ln désigne le logarithme népérien de base e, e = 2,718.

Partie A

On considére la fonction numérique h de la variable réelle x, strictement positive, définie par:

h(x) = \frac{1}{2}(x –  \frac{1}{x})  – Lnx

Etudier trés précisément les variations de h.
On étudiera en particulier le signe et les variations de h^{‘} et  h^{ »} pour établir le tableau complet
des variations de h ; on n’oubliera pas les points caractéristiques, leurs tangentes, les limites et les asymptotes éventuelles de h, etc.

Partie B

1) Soient les deux fonctions a(t) et b(t) de la variable réelle t, t\in J = ] – 1, + ∞ [, définies par:

a(t) = \frac{1}{t+1} et   b(t) = Ln(1+t)

Donner les développements limités a l’ordre 3 de a(t) et b(t) au voisinage de 0.

2) Montrer que      , pour t\in J

3) On considère la fonction numérique f de la variable réelle t\in J = ] – 1, + ∞ [, définie par

et     f(0) = 1

3a – Quel est le signe de f ?
3b – Montrer que f est continue en 0.
4) Calculer f ‘(t). Montrer que f est dérivable en 0.

 Partie C

1) On considère la fonction numérique g de la variable réelle t, t\in J  = ]-1, + ∞ [, définie par

Établir un lien entre g et h (h introduite à la Partie A).

2) Montrer que la derivée f ‘(t) peut étre mise sous la forme   , pour t \neq  0.

3) Démontrer que f ‘ est continue pour tout t\in J .
4) A partir des tableaux de variations de g et f, montrer que f(t) \geq  1 pour tout t\in J .

5) Montrer que    pour t\in J .

 Partie D

Soit une suite {u_{{n}} }, à termes positifs, n entier > 0 ; on définit la suite {U_{{n}} } par:

U_{{n}} = \sum_{k=1}^{n} u_{{k}}

1) Montrer qu’une condition nécessaire pour que la suite {U_{{n}}}  admette une limite finie U est que u_{{n}}\to0  quand n\to+ ∞.

2) Que peut-on dire du comportement de la suite {U_{{n}} } si u_{{n}} ne tend pas vers 0  quand
n  +∞ ?

3) Pour x réel > 0, n entier > 0, on définit la suite de fonctions {u_{{a}}(x)} de terme général

Montrer que, pour x > 0, le ratio  est égal à e.x. où f a été définie en B3.

4) Dans cette question, on suppose que x\geq \frac{1}{e}

4a – Montrer que la suite de terme général {u_{{n}}(x) }, n entier > 0, est une suite croissante.

4b – En déduire alors la nature de la suite associée {U_{{n}}(x)} où U_{{n}}(x)= \sum_{k=1}^{n} u_{{k}}(x).

5) Dans cette question, on suppose que ex < l.
Soit q un nombre réel tel que ex < q < 1.

5a – Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour tout n\geq N, u_{{n+1}}(x)/u_{{n}}(x)\leq q.

5b – En déduire alors que, pour tout n \geq  N, u_{{n}}(x)\leq q ^{n-N}u_{{N}}(x).

5c – Quelle est la nature de la suite {U_{{n}}(x)} ?

6) Pour n entier > 0 , on définit les deux suites (v_{{n}}) et (w_{{n}}) par :

et

Quelles sont les limites de ces deux suites ?

7) On étudie la suite u_{{n}}(\frac{1}{e}).

7a – Donner l’expression de u_{{n}}(\frac{1}{e}).

7b – Pour tout entier k\geq 1, calculer le rapport

7c – Montrer, en utilisant la question 5 de la partie C, que Ln R(k, c)  est majoré par 

7d – En déduire que, pour n entier > 1 :

7e – Montrer que la suite  est majorée.

8) Soit la suite  , n entier > 0.

8a – Donner une relation entre z_{{n}} et  

8b – Quelle est la limite de la suite z_{{n}} quand n tend vers + ∞ ?

Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014