ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE — INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE — ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN — ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – SÉNÉGAL
AVRIL 2014
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
KAMERPOWER.COM
L’épreuve est composée de quatre problèmes indépendants, qui peuvent être traités dans unordre quelconque.
Problème 1
Soit a un paramètre réel qui vérifie 0 < a < 1. N désigne un entier fixé, N > 1.
1) On considère la suite (
Exprimer
2) On considère la suite (
Exprimer
Problème 2
Le Calife appelle son Grand Vizir, et lui tient ce discours:
«Cher ami, tout le monde sait que tu rêves de prendre ma succession quand je me retirerai, et même peut-être avant.
Alors, pour que tout soit clair entre nous, je te propose le jeu suivant.
J’ai dans les mains deux sacs de formes et de couleurs identiques. Celui que je tiens dans ma main droite contient deux boules rouges, celui que j’ai dans ma main gauche en contient trois. Tu peux vérifier.
Voici six boules bleues : je te laisse les mettre dans ces sacs comme tu le souhaites. Quand tu auras procédé à la totale répartition de ces six boules bleues entre les deux sacs, tu fermeras les yeux, je tirerai au sort, entièrement au hasard, un sac, et tu choisiras une boule au hasard dans le sac que je te proposerai.
Si la boule est bleue, tu prendras ma succession instantanément.
Mais si elle est rouge, tu seras banni à jamais et condamne à l’exil»
Comment le Grand Vizir doit-il répartir ses six boules bleues entre les deux sacs de façon à maximiser ses chances de devenir Calife ? Le résultat doit être justifié.
Problème 3
C désigne le corps des nombres complexes.
Partie A
Soit f l’application de C dans C qui, à tout complexe z,
M désigne le point courant d’affixe z.
- Déterminer l’ensemble, noté U, des points M tels que le module |f(z)| de f(z) soit égal à 1.
- Déterminer l’ensemble V des points M tels que f(z) soit un nombre réel strictement négatif.
- Déterminer l’ensemble W des points M tels que |f(z)| soit un nombre imaginaire pur.
Partie B
Soit g l’application de C dans C qui, à tout complexe z,
M désigne le point courant d’affixe z.
- Ecrire g(i) sous forme canésienne et sous forme trigonométrique.
- Résoudre l’équation g(z) = 2i
- Déterminer l’ensemble A des points M tels que |g(z)| = 2.
- Déterminer l’ensemble B des points M tels que l’argument arg(g(z)) soit égal à
- Etudier l’intersection de A et B.
- Résoudre l’équation f(z) = g(z).
Problème 4
Le symbole Ln désigne 1e logarithme népérien, de base e = 2,718.
On considère la famille de fonctions
1 – Déterminer les réels a et b pour que la courbe C représentant graphiquement
Dans la suite du problème, on notera par f la fonction correspondant aux valeurs ainsi
trouvées de a et b.
2 – Etudier très précisément les variations de f (dérivées, concavité, limites, asymptotes
éventuelles, intersection avec les axes, etc…).
3 – Soit la fonction g définie sur l’intervalle
3a) Etudier les positions respectives des courbes F et G représentant les fonctions f et g.
3b) Calculer une primitive de g(x).