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Épreuve de 2ème composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEUREINSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIEET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJANISSEA – YAOUNDÉ

ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – SÉNÉGAL
AVRIL 2014

CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES

ISE Option Économie
2ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 3 heures)
KAMERPOWER.COM

L’épreuve est composée de quatre problèmes indépendants, qui peuvent être traités dans unordre quelconque.

Problème 1

Soit a un paramètre réel qui vérifie 0 < a < 1. N désigne un entier fixé, N > 1.

1) On considère la suite (u_{{n}}) de nombres réels vérifiant les relations suivantes

 u_{{0}} = 0
u_{{N}} = 1
u_{{n}} = a . u_{{n+1}} + (1 – a)u_{{n-1}}, pour tout n entier > 0

Exprimer u_{{n}} en fonction de n, N et a (on discutera selon les valeurs du paramètre a).

2) On considère la suite (v_{{n}}) de nombres réels vérifiant les relations suivantes

v_{{0}} = 1
v_{{N}} = 0
v_{{n}} = a . v_{{n+1}} + (1 – a)v_{{n-1}}, pour tout n entier > 0

Exprimer v_{{n}} en fonction de n, N et a.

Problème 2

Le Calife appelle son Grand Vizir, et lui tient ce discours:

«Cher ami, tout le monde sait que tu rêves de prendre ma succession quand je me retirerai, et même peut-être avant.
Alors, pour que tout soit clair entre nous, je te propose le jeu suivant.
J’ai dans les mains deux sacs de formes et de couleurs identiques. Celui que je tiens dans ma main droite contient deux boules rouges, celui que j’ai dans ma main gauche en contient trois. Tu peux vérifier.
Voici six boules bleues : je te laisse les mettre dans ces sacs comme tu le souhaites. Quand tu auras procédé à la totale répartition de ces six boules bleues entre les deux sacs, tu fermeras les yeux, je tirerai au sort, entièrement au hasard, un sac, et tu choisiras une boule au hasard dans le sac que je te proposerai.
Si la boule est bleue, tu prendras ma succession instantanément.
Mais si elle est rouge, tu seras banni à jamais et condamne à l’exil»

Comment le Grand Vizir doit-il répartir ses six boules bleues entre les deux sacs de façon à maximiser ses chances de devenir Calife ? Le résultat doit être justifié.

Problème 3

C désigne le corps des nombres complexes.

Partie A

Soit f l’application de C dans C qui, à tout complexe z, z\neq -3, associe f(z) défini par

f(z) = \frac{z+1-i}{z+3}

M désigne le point courant d’affixe z.

  1. Déterminer l’ensemble, noté U, des points M tels que le module |f(z)| de f(z) soit égal à 1.
  2. Déterminer l’ensemble V des points M tels que f(z) soit un nombre réel strictement négatif.
  3. Déterminer l’ensemble W des points M tels que |f(z)| soit un nombre imaginaire pur.

Partie B

Soit g l’application de C dans C qui, à tout complexe z, z\neq 2i , associe g(z) défini par:

g(z) = \frac{z-1}{z-2i}

M désigne le point courant d’affixe z.

  1.  Ecrire g(i) sous forme canésienne et sous forme trigonométrique.
  2.  Résoudre l’équation g(z) = 2i
  3. Déterminer l’ensemble A des points M tels que |g(z)| = 2.
  4. Déterminer l’ensemble B des points M tels que l’argument arg(g(z)) soit égal à \pi/2 , module 2\pi.
  5.  Etudier l’intersection de A et B.
  6. Résoudre l’équation f(z) = g(z).

Problème 4

Le symbole Ln désigne 1e logarithme népérien, de base e = 2,718.
On considère la famille de fonctions f_{{a,b}} , où a et b sont deux paramètres réels, définie sur   R^{+*}  – {1} , par:

f_{a,b}(x) = ax + \frac{b}{Lnx}

1 – Déterminer les réels a et b pour que la courbe C représentant graphiquement f_{a,b} dans le repère orthonormé usuel coupe l’axe des abscisses au point E (e, 0), et pour que la tangente à C au point E soit parallèle à la droite y = 2x.
Dans la suite du problème, on notera par f la fonction correspondant aux valeurs ainsi
trouvées de a et b.
2 – Etudier très précisément les variations de f (dérivées, concavité, limites, asymptotes
éventuelles, intersection avec les axes, etc…).

3 – Soit la fonction g définie sur l’intervalle  R^{+*}  – { l } par : g(x) = x - \frac{e}{x.Lnx}

3a) Etudier les positions respectives des courbes F et G représentant les fonctions f et g.
3b) Calculer une primitive de g(x).

Épreuve de 2ème composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014

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