Epreuves concours IUT de Douala Mathématiques 2007 PFTIN-GI Filière 1ère ANNÉE IUT de l’Université de Douala Session juillet 2007

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN
Paix – Travail – Patrie
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CONCOURS D’ENTREE EN 1ère ANNÉE
Session de juillet 2007 IUT de l’Université
de Douala Filière: PFTIN-GI
Épreuve de Mathématiques
DUREE : 3 HEURES KAMERPOWER.COM

Epreuves concours IUT de Douala
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Epreuves concours IUT de Douala Mathématiques 2007 PFTIN-GI

Exercice 1 : 4 points

(I). On considère le nombre complexe z de module p et d’argumentâ tels que  z = 24 / [(4 – α)(2 – αi)²]

ou α est un nombre réel.

1. Mettre z sous la forme algébrique. (0.5 pt) kamerpower.com
2. Calculer en fonction de a le module ρ et tanθ. ( 1 pt)
3. Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles z est un réel ? ( 0.5 pt)
4. Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles z est imaginaire pur? (0.5 pt)

(II). Soit E l’ensemble des nombres complexes z vérifiant: zz̄ – 2(z + z̄) = 0

1. Montrer que l’ensemble des points M (x, y) image des nombres com-
   plexes z appartenanta un cercle que l’on précisera. ( 1 pt
2. On suppose que z = [p, 6] Déterminer que pour θ donné, la seule valeur de p telle que z ε E. (0.5 pt)

NB: Les questions I et II sont indépendantes

Exercice 2 : 6 points

Soit la fonction  f(x) = 2Inx / (1+Inx)

une fonction réelle d’une variable réelle.

1. Déterminer le domaine de définition de cette fonction et calculer les limites. ( 1.5 pt
2. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variation. ( 1 pt) kamerpower.com
3. Montrer que la courbe f admet un point d’inflexion que l’on précisera .( 1pt)
4. Montrer que f est prolongeable en continuité en x = 0 et étudier la dérivabilité.. (0.5 pt
5. Résoudre graphiquement les inequations suivantes;
   f(x) < 0,  f(x) > 0

Exercice 3 : 4 points

1. Calculer l’integrale I = ∫ cosax sinbx dx. (1 pt)
2. Soit  I_n = ∫ cosx sinnx dxn
   0 → π
   etant un entier naturel. Montrer que  ∀_n ≠ 1
   ((-1)ⁿ + 1) / n² – 1

   On rappele que cosnπ = (-1)ⁿ. (2pts)

3. pour n = 2p, p e’tant un entier naturel, calculer I_2p
   pour n = 2p + 1, p ≠ 0 e’tant un entier naturel, calculer I_2p+1
4. la suite(In) est elle convergente ? ( 1 pt)

Exercice 4 : 3 points

1. Soient a,b et c trois réels qui vérifient le système d ’équution suivant:
   { a + b + c = 312
   c + a + c = 192
   Déterminer ces réels pour qu’ils soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique. (2 pts)
2. Soitx un réel. On considère les nombres réels suivants:
   U₁ = (x² – 2x – 1) ,     U₂ = (x² + 1)² ,   U₃ = (x² + 2x – 1)²

Montrer que U1, U2 et U3 sont trois termes consécutifs d’une suite géométrie. (1 pt)

Epreuves concours IUT de Douala Mathématiques 2007 PFTIN-GI Filière 1ère ANNÉE IUT de l’Université de Douala Session juillet 2007