Epreuves concours IUT Douala Mathématiques 2010 PFTIN-GI Filière 1ère ANNÉE IUT de l’Université de Douala Session juillet 2010

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN
CONCOURS D’ENTREE EN 1ère ANNÉE
Session de juillet 2010 IUT de l’Université
de Douala Filière: PFTIN-GI
Épreuve de Mathématiques
DUREE : 3 HEURES KAMERPOWER.COM

Epreuves concours IUT Douala
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Epreuves concours IUT Douala Mathématiques 2010 PFTIN-GI

Exercice 1

Soit

A = cos2α + cos4α + cos6α + cos8α
B = sin2α + sin4α + sin6α + sin8α

avec α = π/5

1. 1. Montrer que 1 + A = 4 cos²α − 2cos α − 1
   2. Calculer la valeur du nombre complexe Z = A + i B
   3. En déduire que 1 + A = 0  kamerpower.com
   
   4. Calculer les valeurs réelles de cosα et sinα

Exercice 2

Soit 

f(x) = In(| cosx/sinx |)

 une fonction réelle d’une variable réelle x

1. Determiner le domaine de définition de cette fonction.
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction dans l’intervalle ]0,π/2[
3. Montrer que dans l’intervalle ]0,π/2[  la courbe de f admet un point d’inflexion
4. Montrer que cette fonction est paire et tracer sa courbe representative dans
   l’intervalle ]-π/2,π/2[   kamerpower.com
5. Montrer que cette fonction est périodique et tracer sa courbe dans l’intervalle ] − π, π[

Exercice 3

Soit I_n  = ∫ 1 e  Inxdx ou n est un entier naturel. kamerpower.com

1. Calculer I₀ et I₁
2. Calculer I_n
3. Calculer la limite de I_n quand n tend vers +∞.

Exercice 4

Soient a ∈ [λ, α] un nombre complexe donnée,λ et α étant des réels.
On considère l’application S du plan complexe définie ci-apres : S : M(Z) => M'(Z’ = aZ)

Ou Z est un nombre complexe,M est un point du plan d’affixe Z et ayant pour image le point M‘
du plan d’affixe Z‘.

1. Soient M1(1, 0),M2(0, 1) et M3(0, −1) trois points du plan
   a. Déterminer la nature du triangle formé par M1,M2 et M3.
   b. Déterminer ,en fonction de λ et les affixes Z’1, Z’2 et Z’3 des images pas S de M1, M2, et M3 respectivement.
2. On considère λ =1 et α=π/6
   a. Exprimer Z’1, Z’2et Z’3
   b. Déterminer la nature du triangle formé par les points M’1, M’2 et M’3
3. On considère la suite des points du plan M0, M1,··· , Mn définie par Mn =S (Mn−1) ou Mn est le point d’affixe Zn = [ρn , θn] et n un entier naturel. kamerpower.com
   Montrer que la suite (ρn) est géométrique et que la suite (θn) est arithmétique.

Epreuves concours IUT Douala Mathématiques 2010 PFTIN-GI Filière 1ère ANNÉE IUT de l’Université de Douala Session juillet 2010