Epreuve Concours EAMAC 2011 de Mathematiques T & TS

CONCOURS D’ENTREE AUX CYCLES DE TECHNICIEN SUPERIEUR ET
TECHNICIEN DE L’ECOLE AFRICAINE DE LA METEOROLOGIE ET DE
L’AVIATION CIVILE ( EAMAC )
SESSION 2011 Concours EAMAC
EPREUVE DE : MATHEMATIQUES
DUREE : 3 HEURES 
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Epreuve Concours EAMAC 2011 de Mathematiques T & TS

Exercice 1

Soient les intégrales suivantes: I = ∫ 0-π  e^tcosttdt   et   J = ∫ 0-π  e^tsin²tdt

1. Calculer I + J et I – J
2. En déduire les valeurs de I et J

Exercice 2

Soitf _{{a}} la fonction définie par: fa(x) = log(x^2 – 2ax + 1)

où -1 \leq a\leq 1 et log désigne la fonction logarithme népérien. On notera C_{{a}} la courbe représentative de f_{{a}} dans un repère orthonormé.

A) Dans cette partie du problème on suppose a = -1.

1. Etudier les variations de f_{{-1}} et tracer la courbe représentative C_{{-1}}

2. a) Déterminer une primitive de la fonction g définie par: g(x) = log (x + 1)
b) Calculer l’aire de ensemble des points de coordonnées (x, y) satisfaisant aux conditions:
 0\leq x\leq e-1 et 0\leq y\leq f_{{-1}}(x).

B) Dans cette partie, on suppose 0 < a < 1.

1.  Déterminer le domaine de définition de f_{{a}} 
2.  Etudier les variations de la fonction f_{{a}} 
3. Montrer que la courbe C_{{a}} admet la droite d’équation x = a pour axe de symétrie.
4. Soit h la fonction définie par: h = 2log x,  x > 0.
   Donner, selon la valeur de x, le signe de l’expression f_{{a}}(x)-h(x)
   Cette expression admet-elle une limite quand x tend vers +∞ ? p
5. Tracer la courbe représentative de h et utiliser ce qui précède pour tracer C2/3   dans le même repère. 

C) Montrer que les coùrbes C_{{a}}  et C_{{-a}} sont symétriques par rapport à la droite d’équation x = 0.

Epreuve Concours EAMAC 2011 de Mathematiques T & TS