Epreuves concours IUT de Douala Mathématiques 2009 PFTIN-GI Filière 1ère ANNÉE IUT de l’Université de Douala Session juillet 2009

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN
CONCOURS D’ENTREE EN 1ère ANNÉE
Session de juillet 2009 IUT de l’Université
de Douala Filière: PFTIN-GI
Épreuve de Mathématiques
DUREE : 3 HEURES KAMERPOWER.COM

Epreuves concours IUT de Douala
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Epreuves concours IUT de Douala Mathématiques 2009 PFTIN-GI

Exercice 1 : 5 points

Soit f(x ) = e^{−|x −1|} une fonction réelle de la variable réelle x.

1. Calculer les limites de cette fonction . (0.5 pt )
2. Démontrer que f est maximun au point I₀ = 1 . (0.5 pt )
3. Calculer la limite à gauche et la limite à droite au point d’abscisse 1 de h(x) = (f(x) – f(1)) / x-1
     ( 1 pt ) kamerpower.com
4. Que peut-on en déduire pour f au point d’abscisse 1 . (0.5 pt )
5. Dresser le tableau de variation et tracer la courbe de f . (1 pt )
6. Calculer I(a)   =    -a -> a  ∫  f(x)dx a > 1 et limite de I(a) quand a → +∞. (1.5 pt)

Exercice 2 : 4 points

Un dé cubique D1 comprend une face marquée 1, deux faces marquées 3,et une face marquée 4. kamerpower.com
Un dé cubique D2 comprend deux faces marquées 1, une face marquée 2,et trois faces marquées 3.
On suppose que,pour chaque dé toutes les faces ont la même probabilité d’etre obtenue. On lance simultanément les deux soient x le chiffre indiqué par les dé D1 et y le chiffre indiqué par le dé D2.

1. Calculer la probabilité pour que l’on ait x = y . (1 pt )
2. Calculer la probabilité que l’on ait x > y . (1.5 pt )
3. Calculer la probabilité pour que l’on ait |x − y | ≥ 1. (1.5 pt )

Exercice 3: 6 points

Soient m et n deux entiers naturels. On considère l’intégrale suivante: I_m,n  =    0 ->1 ∫  xⁿ(1-x)^mdx

1.   I_m,0   et   I_0,n
2. a. Établir la relation de récurrence entre I_m,n  et  I_m-1,n+1
   . (0.5 pt)
   b. En déduire une formule permettant de calculer I_m,n
   . (1 pt ) kamerpower.com
   c. Utiliser cette formule pour calculer I_5,7 = I_7,5
     (0.5 pt )
3. a. Établir la relation de récurrence entre I_m,n et I_m+1,n-1
   . (0.5 pt )
   b. En déduire une formule permettant de calculer I_m,n . ( 1 pt ) kamerpower.com
   c. Utiliser cette formule pour calculer I_7,5 = I_5,7
   . (0.5 pt )
4. Montrer que I_m,n = I_n,m

Exercice 4: 5 points

1. Soit z un nombre complexe calculer p = (1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶)(1-z)    (0.5 pt)
2. Soit z = cos 2π/7 + isin 2π/7
   a. Déterminer la valeur de S = 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶.  (0.5 pt )
   b. En déduire la valeur de t = cos 2π/7 + cos 4π/7 + cos 6π/7. (1 pt )
3. Soit θ ∈]0, π[ u réel donné. kamerpower.com
   a. Résoudre l’équation u² + 2(cos θ)u + 1 = 0  (1 pt ) 
   b. En déduire la résolution de l’équation
   x⁴ + 2(cosθ)x² + 1 = 0  . (2 pts )

NB: La question 3 est indépendante des autres

Epreuves concours IUT de Douala Mathématiques 2009 PFTIN-GI Filière 1ère ANNÉE IUT de l’Université de Douala Session juillet 2009