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Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques

Epreuve concours ENS Yaounde Ecole normale supérieure

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN
Paix – Travail _ Patrie
UNIVERSITE DE YAOUNDE I
Ecole Normale Supérieure de Yaoundé ENS
Concours d’entrée en première année du premier cycle
Série: Mathématiques Epreuve : Géométrie Durée : 3h Session : 2012
KAMERPOWER.COM

Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques 

Exercice 1/ 7 points

Soit O, A, B et C quatre points du plan complexe P tels que ABC est de sens direct et isocèle en C , OAC est équilatéral de sens direct et C est le milieu de [O, B].

  1. Faire une figure et placer les points O, A, B et C . [1pt]
  2. Montrer qu’il existe exactement deux isométries qui transforment O en B et A en C . [1pt]
  3. Soit r le déplacement transformant O en B et A en C . [1pt]

    (a) Montrer que r est une rotation dont on donnera l’angle. [0,5pt+0,5pt]
    (b) Construire sur la figure ci-dessus le centre Ω de r. Justifier. [1pt]
  4.  Soit S(AC) la réflexion d’axe (AC ) et S l’antidéplacement appliquant O en B et A en C .

    (a) Montrer que S est une symétrie d’axe (AC ). [1pt]
    (b) En déduire que S = tAC oSAC   est la translation de vecteur AC. [1pt]
  5. Soit (O, u, v) un repère orthonormé direct de P tel que A ait pour affixe z = 2. Déterminer l’affixe du point Ω.

Exercice 2/ 7 points

Epreuve concours ENS Yaounde Ecole normale supérieure

Données.
OABC est un carré d’arête 1.
(C 1) est tangent à (OC) et à (OA).
(C 2) est tangent à (AB) et à (BC).
(C 1) et (C 2) sont tangents en F . kamerpower.com
(C 1) a pour centre D et pour rayon x.
(C 2) a pour centre E et pour rayon y.
x < y et la somme des aires de (C 1) et (C 2) est maximale.

  1. On voudrait déterminer OD et OE.

    (a) Montrer que OD = x √2, BE = y √2 et x + y = 2 − √2.  [0,5pt+0,5pt+1pt]
    (b) Déterminer la somme des aires de (C 1) et (C 2) ; puis OD et OE. [0,5pt+1pt]
  2. Soit P la parabole de foyer F et de directrice (BC).

    (a) Montrer que E ∈ P et déterminer la paramètre de P . [0,5pt+1pt]
    (b) Reproduire la figure précédente pour OA = 2cm. [1pt]
    (c) Construire sur la figure précédente la parabole P , son sommet et son axe. [1pt]

 

Exercice 3/ 6 points

  1. Le plan (P ) étant rapporté à un repère orthonormé (O, i , j), on considère l’application F qui à tout point M (x, y) de (P ) associe le point M′(x′, y′) tel que x′= x − y + 2 et y′= 2y − 1.

    (a) L’application F est-elle une isométrie ? Justifier. [1pt]
    (b) L’application F admet-elle de point invariant ? Justifier. [1pt]
    (c) Déterminer les droites globalement invariantes par F . [1pt]
  2. Etant donné un repère (O, i, j, k) de l’espace (E ), on considère le plan (Q) : x = y + z + 1 et la droite (d) de repère (O, i − j  − k).

    (a) Montrer que (Q) et (d) sont orthogonaux en un point I à déterminer. [1pt]
    (b) Déterminer l’expression analytique de la reflexion S par rapport à (Q). [1pt]
    (c) Déterminer sans calcul la nature de S ◦ s où s est le demi-tour d’axe (d). [1pt]

Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques 

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2 commentaires sur “Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques”

  1. jie jie patrick romuald

    j’aurais bien voulu que dans vos épreuves figure aussi des anciens sujet de l’ENS en histoire géographie

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