Epreuve de mathematiques ENSP 1996 concours d’entrée à l’Ecole Nationale Supérieure Polytechnique Niveau Baccalaureat Cameroun
Concours d’entrée à l’Ecole Nationale Supérieure Polytechnique (Baccalaureat Cameroun)
Épreuve de mathematiques ENSP 1996
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
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Exercice 1:
On place dans un sac 4 boules marquées respectivement des nombres : 1, -1, ½, et –3/7. On tire successivement du sac, au hasard 3 boules, marquées respectivement a, b, et c dans l’ordre de leur tirage, et ce, sans remise après chaque tirage.
- Quelle est la probabilité pour que l’équation du second degré : az² + dz + c =0 ait deux solutions complexes, non-réelles et dont les images M1 et M2 sont symétriques par rapport à l’origine O du plan complexe ? Les chances de cet événement auraient-elles été plus grandes si le tirage des boules avait plutôt été effectué avec remise après chaque tirage ?
Exercice 2:
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 , 3] par :
on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) d’unité graphique 2cm. Soit Q la plaque plane définie par la courbe C, l’axe abscisses et la droite d’équation x=3.
- Etudier les variations de g sur [0 ;3]. Tracer la courbe représentative de g
- Calculer l’aire de la plaque Q en cm² en utilisant une intégration par parties.
- Par rotation de le plaque Q autour de l’axe (O, i), on obtient un solide de révolution R. Détermine le volume en cm³.
- Donner une valeur arrondie en mm³ de R.
Exercice 3:
L’objectif est de déterminer les droites tangentes à la fois à la courbe représentant la fonction logarithme népérien et à celle à la fonction exponentielle, puis d’étudier la configuration obtenue. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j), unité graphique 1 cm.
On note :
C1 et C2 les courbes d’équations respectives y =ex et y = lnx ;
Tp la tangente à la courbe C1 au point P d’abscisse p, p étant un nombre réel.
D1 la tangente à la courbe au point T d’abscisse l, l étant un nombre réel strictement positif.
- Dans cette partie, on cherche le lien entre des droites, tangentes aux deux courbes C1 et C2 et qui sont parallèles ; puis à quelle condition une droite tangente à la courbe C1 est également à la tangente à la courbe C2.
a) Déterminer une équation cartésienne de la droite Tp. Déterminer de même une équation cartésienne de la droite D1.
b) Déterminer l’en fonction de p pour les droites Tp et D1 soient parallèles. On notera q la valeur obtenu de l’ainsi obtenue, Q le point de la courbe C2 d’abscisse q et Dq la tangent corresponde. Montrer que les droites Tp, Dq sont confondues si et seulement si : q=℮-p et (p+1)℮-p = p-1
2. Dans cette partie, on se propose d’étudier les solutions de l’équation :
Pour cela on considère la fonction f définie pour tout nombre réel x, x ≠ -1 par :
- Montrer que si f (x)=1 si et seulement si
- Etudier les variations de f sur I=[0 ;+∞[ et la limite de f quand x tend vers +∞.
- Démontrer que l’équation f (x)=1 admet , dans I, une solution unique m et que m appartient à l’intervalle [1,5 ; 1,6].
a) Pour tout nombre réel x, différent de 1 et de –1, calculer le produit: f (x) × f (-x).
b) Déduire des équation précédentes que l’équation (1) admet deux solutions opposées.
c) Déterminer les tangents communes aux courbes C1 et C2.
Tracer dans un repère orthonormal (O, i, j) les courbes C1 et C2. on rappelle que les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite y=x. Tracer également les tangentes communes Tm et T-m. On prendra pour m la valeur approchée 1,55.
3. Etude géométrique du problème.
On considère l’équation U du plan dans lui-même qui , a tout point M de coordonnées (x;y), y non nul, associe le point M’ de coordonnées (x’ ; y’ ) avec x’ = -x et y’ = \frac{1}{y}.
Déterminer U(M’). Montrer que, si le point M appartient à la courbe C1 alors le point M’ appartient aussi à la courbe C1.
Soit P le point d’abscisse m (m étant le point défini en II.1.c) de la courbe C1, Tm est donc la tangente à la courbe C1 au point P et à la courbe C2 au point Q d’abscisse ℮-m.
- Déterminer en fonction de m les coordonnées de P’ = U(P).
- Vérifier que la droite T-m est tangente à la courbe C1 au point P’ et qu’elle est aussi tangente à la courbe C2 en un point Q1, dont on donnera les coordonnées en fonction de m.
- Compléter la figure en plaçant les points P,Q1, P’, et Q.
- Justifier les coordonnées suivantes
;
;
;
.
- En déduire que les droites Tm et T-m sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x . Déterminer la nature du quadrilatère PQ1QP’.
- Montrer que l’aire du domaine limité par le segment [PP’] et l’arc de la courbe C1 d’extrémité P et P’ est égales à 2m. On admettra que cet arc est situé en-dessous du segment [PP’].
