Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE
ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE — INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE — ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN — ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE – SÉNÉGAL
AVRIL 2014
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Économie
1ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
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Épreuve de 1ère composition de Mathématiques ISSEA Yaounde 2014 / ENSEA Abidjan 2014 – Concours Ingénieurs statisticiens économistes – ISE 2014
L’épreuve comporte un seul probléme, composé de quatre parties non indépendantes notées de A à D.
Problème
Le symbole Ln désigne le logarithme népérien de base e, e = 2,718.
Partie A
On considére la fonction numérique h de la variable réelle x, strictement positive, définie par:
h(x) = \frac{1}{2}(x – \frac{1}{x}) – Lnx
Etudier trés précisément les variations de h.
On étudiera en particulier le signe et les variations de h^{‘} et h^{”} pour établir le tableau complet
des variations de h ; on n’oubliera pas les points caractéristiques, leurs tangentes, les limites et les asymptotes éventuelles de h, etc.
Partie B
1) Soient les deux fonctions a(t) et b(t) de la variable réelle t, t\in J = ] – 1, + ∞ [, définies par:
a(t) = \frac{1}{t+1} et b(t) = Ln(1+t)
Donner les développements limités a l’ordre 3 de a(t) et b(t) au voisinage de 0.
2) Montrer que , pour t\in J
3) On considère la fonction numérique f de la variable réelle t\in J = ] – 1, + ∞ [, définie par
et f(0) = 1
3a – Quel est le signe de f ?
3b – Montrer que f est continue en 0.
4) Calculer f ‘(t). Montrer que f est dérivable en 0.
Partie C
1) On considère la fonction numérique g de la variable réelle t, t\in J = ]-1, + ∞ [, définie par
Établir un lien entre g et h (h introduite à la Partie A).
2) Montrer que la derivée f ‘(t) peut étre mise sous la forme , pour t \neq 0.
3) Démontrer que f ‘ est continue pour tout t\in J .
4) A partir des tableaux de variations de g et f, montrer que f(t) \geq 1 pour tout t\in J .
5) Montrer que pour t\in J .
Partie D
Soit une suite {u_{{n}} }, à termes positifs, n entier > 0 ; on définit la suite {U_{{n}} } par:
U_{{n}} = \sum_{k=1}^{n} u_{{k}}
1) Montrer qu’une condition nécessaire pour que la suite {U_{{n}}} admette une limite finie U est que u_{{n}}\to0 quand n\to+ ∞.
2) Que peut-on dire du comportement de la suite {U_{{n}} } si u_{{n}} ne tend pas vers 0 quand
n +∞ ?
3) Pour x réel > 0, n entier > 0, on définit la suite de fonctions {u_{{a}}(x)} de terme général
Montrer que, pour x > 0, le ratio est égal à e.x.
où f a été définie en B3.
4) Dans cette question, on suppose que x\geq \frac{1}{e}
4a – Montrer que la suite de terme général {u_{{n}}(x) }, n entier > 0, est une suite croissante.
4b – En déduire alors la nature de la suite associée {U_{{n}}(x)} où U_{{n}}(x)= \sum_{k=1}^{n} u_{{k}}(x).
5) Dans cette question, on suppose que ex < l.
Soit q un nombre réel tel que ex < q < 1.
5a – Montrer qu’il existe un entier N tel que, pour tout n\geq N, u_{{n+1}}(x)/u_{{n}}(x)\leq q.
5b – En déduire alors que, pour tout n \geq N, u_{{n}}(x)\leq q ^{n-N}u_{{N}}(x).
5c – Quelle est la nature de la suite {U_{{n}}(x)} ?
6) Pour n entier > 0 , on définit les deux suites (v_{{n}}) et (w_{{n}}) par :
et
Quelles sont les limites de ces deux suites ?
7) On étudie la suite u_{{n}}(\frac{1}{e}).
7a – Donner l’expression de u_{{n}}(\frac{1}{e}).
7b – Pour tout entier k\geq 1, calculer le rapport
7c – Montrer, en utilisant la question 5 de la partie C, que Ln R(k, c) est majoré par
7d – En déduire que, pour n entier > 1 :
7e – Montrer que la suite est majorée.
8) Soit la suite , n entier > 0.
8a – Donner une relation entre z_{{n}} et
8b – Quelle est la limite de la suite z_{{n}} quand n tend vers + ∞ ?
