Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN
Paix – Travail _ Patrie
UNIVERSITE DE YAOUNDE I
Ecole Normale Supérieure de Yaoundé ENS
Concours d’entrée en première année du premier cycle
Série: Mathématiques Epreuve : Géométrie Durée : 3h Session : 2012
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Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques

Exercice 1/ 7 points

Soit O, A, B et C quatre points du plan complexe P tels que ABC est de sens direct et isocèle en C , OAC est équilatéral de sens direct et C est le milieu de [O, B].

1. Faire une figure et placer les points O, A, B et C . [1pt]
2. Montrer qu’il existe exactement deux isométries qui transforment O en B et A en C . [1pt]
3. Soit r le déplacement transformant O en B et A en C . [1pt]
   
   (a) Montrer que r est une rotation dont on donnera l’angle. [0,5pt+0,5pt]
   (b) Construire sur la figure ci-dessus le centre Ω de r. Justifier. [1pt]
4. Soit S(AC) la réflexion d’axe (AC ) et S l’antidéplacement appliquant O en B et A en C .
   
   (a) Montrer que S est une symétrie d’axe (AC ). [1pt]
   (b) En déduire que S = tAC oSAC   est la translation de vecteur AC. [1pt]
5. Soit (O, u, v) un repère orthonormé direct de P tel que A ait pour affixe z = 2. Déterminer l’affixe du point Ω.

Exercice 2/ 7 points

Données.
OABC est un carré d’arête 1.
(C 1) est tangent à (OC) et à (OA).
(C 2) est tangent à (AB) et à (BC).
(C 1) et (C 2) sont tangents en F . kamerpower.com
(C 1) a pour centre D et pour rayon x.
(C 2) a pour centre E et pour rayon y.
x < y et la somme des aires de (C 1) et (C 2) est maximale.

1. On voudrait déterminer OD et OE.
   
   (a) Montrer que OD = x √2, BE = y √2 et x + y = 2 − √2.  [0,5pt+0,5pt+1pt]
   (b) Déterminer la somme des aires de (C 1) et (C 2) ; puis OD et OE. [0,5pt+1pt]
2. Soit P la parabole de foyer F et de directrice (BC).
   
   (a) Montrer que E ∈ P et déterminer la paramètre de P . [0,5pt+1pt]
   (b) Reproduire la figure précédente pour OA = 2cm. [1pt]
   (c) Construire sur la figure précédente la parabole P , son sommet et son axe. [1pt]

Exercice 3/ 6 points

1. Le plan (P ) étant rapporté à un repère orthonormé (O, i , j), on considère l’application F qui à tout point M (x, y) de (P ) associe le point M′(x′, y′) tel que x′= x − y + 2 et y′= 2y − 1.
   
   (a) L’application F est-elle une isométrie ? Justifier. [1pt]
   (b) L’application F admet-elle de point invariant ? Justifier. [1pt]
   (c) Déterminer les droites globalement invariantes par F . [1pt]
2. Etant donné un repère (O, i, j, k) de l’espace (E ), on considère le plan (Q) : x = y + z + 1 et la droite (d) de repère (O, i − j  − k).
   
   (a) Montrer que (Q) et (d) sont orthogonaux en un point I à déterminer. [1pt]
   (b) Déterminer l’expression analytique de la reflexion S par rapport à (Q). [1pt]
   (c) Déterminer sans calcul la nature de S ◦ s où s est le demi-tour d’axe (d). [1pt]

Epreuve concours ENS Yaounde Niveau BAC Géométrie 2012 Mathématiques